Question

已知定义域为R 的函数f （x）有一个零点为1，f （x）的导函数f′(x)=

1

2

(x+1)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}的各项均为正数，其前n 项的和S_n=f（a_n）（n∈N*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据函数的导数为f′(x)=

1

2

(x+1)，可以判断函数f（x）为二次函数，利用待定系数法，即可求得f（x）的解析式；
（2）根据S_n=f（a_n），即可求得S_n的表达式，利用S_n与a_n的之间的关系，可以得到a_n与a_n-1之间的关系，确定了数列{a_n}为等差数列，求出首项和公差，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵f （x）的导函数f′(x)=

1

2

(x+1)，
∴f（x）为二次函数，设f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+c，
∵函数f （x）有一个零点为1，
∴f（1）=0，即

1

4

+

1

2

+c=0，
∴c=-

3

4

，
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x-

3

4

，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=

1

4

x2+

1

2

x-

3

4

；
（2）∵数列{a_n}的前n项的和S_n=f（a_n），
∴S_n=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，①
当n=1时，S₁=a₁=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，解得a₁=-1（舍），a₁=3，
当n≥2时，S_n-1=

1

4

an-12+

1

2

an-1-

3

4

，②
①-②，可得S_n-S_n-1=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

-（

1

4

an-12+

1

2

an-1-

3

4

），
∴a_n=

1

4

an2-

1

4

an-12+

1

2

a_n-

1

2

an-1，
整理可得，an2-an-12-2a_n-2a_n-1=0，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．

点评：本题考查了导数的运算，函数解析式的求法以及常用方法，数列的函数特性．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．数列的很多问题可以利用它的函数的性质，转化为研究函数的问题．属于中档题．