Question

（2013•怀化三模）规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数f（x）=

g(x)(x＜0) x2+4x(x≥0)

是对偶函数，则
（1）g（x）=

-x²+4x

．
（2）若f[

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是

m＜5

．

Answer 1

分析：（1）先设设x＜0，则-x＞0，代入解析式求出f（-x），再由题意f（-x）=-f（x），求出g（x）；
（2）由（1）求出的解析式，分别求出函数值的范围，进而把条件转化为f(

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

)＞0对于任意的n∈N°恒成立问题，即

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

＞0对于任意的n∈N°恒成立问题，分离常数m并把和式展开，利用裂项相消法进行化简，再求出此式子的最小值即可．

解答：解：（1）由题意设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=x²-4x，
∵f（-x）=-f（x），∴g（x）=-f（-x）=-x²+4x，
（2）由（1）得，f(x)=

-x2+4x  (x＜0) x2+4x     (x≥0)

，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4＜0，
当x≥0时，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4≥0，
∵f(

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

)＞0对于任意的n∈N°恒成立，
∴条件转化为

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

＞0对于任意的n∈N°恒成立，
即m＜10×

n

i

1

i(i+1)

=10（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

）对于任意的n∈N°成恒立，
令y=10（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

），即求y的最小值，
则y=10×[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=10（1-

1

n+1

），
∵1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

，∴y的最小值为5．
综上可得，m＜5．
故答案为：-x²+4x；m＜5．

点评：本题以一个新定义为背景考查了恒成立问题，求和符号的展开，分离常数法和裂项相消法求和等，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．