Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求导，根据可得的值。将的值代入导数解析式并将导数变形分解因式，讨论导数的正负，导数大于0得增区间，导数小于0得减区间。（2）将变形为（注意所以不等式两边同除以时不等号应改变）。设.将问题转化为时恒成立问题，即。将函数求导，分析讨论导数的正负，从而判断函数的单调性，根据单调性求其最值。

解：（1） 因为， 1分

因为，

所以. 2分

所以.

令，解得. 3分

随着的变化，和的变化情况如下：

即在和上单调递减，在上单调递增. 6分

（2） 因为对于任意的，都有，

即，

所以. 8分

设.

因为， 9分

又因为，

所以. 10分

所以.

所以在上单调递增. 11分

所以. 12分

即. 13分