Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），满足4y₁y₂=x₁x₂，试证：kAB+kBC的值为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），不妨设x₁＞0，x₂＞0．设k_AC=k＞0，将直线AC和直线BD方程代入椭圆方程，解得A，B的坐标，可得C的坐标，再由斜率公式，计算即可得证．

解答 证明：由题意可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
椭圆过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），
不妨设x₁＞0，x₂＞0．
设k_AC=k＞0，∵k_AC•k_BD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴k_BD=$\frac{1}{4k}$．
可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，y=$\frac{1}{4k}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4k}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
即有y₁=$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
k_AB+k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{1-2k}{4k-2}$+$\frac{1+2k}{4k+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
则k_AB+k_BC的值为定值，且为0．

点评 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到交点、运用直线的斜率公式是解题的关键．