题目内容

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，3a_n为方程x²+2x-12S_n=0的一根（N∈n）．
（1）求数列{a_n}通项公式a_n；
（2）求证：当N≥2时， $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜ $数学公式$ ．

解：（1）∵原方程x²+2x-12S_n=0有一根为3a_n
∴9 $\text{[math]}$ 即4 $\text{[math]}$ …①…（1分）
令n=1， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或a₁=0
∵a_n＞0
∴ $\text{[math]}$ （2分）
当n≥2时， $\text{[math]}$ …②
①-②得：4 $\text{[math]}$ +2a_n-2a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1 $\text{[math]}$ ）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1 $\text{[math]}$ =0…（5分）
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（6分）
（2）记C_n═ $\text{[math]}$
则C_n+1-C_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=[ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ ＜0
∴C_n＞C_n+1…（9分）
∴C_n＜C_n-1＜C_n-2＜…＜C₂
即C_n≤C₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（11分）
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ C_n $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由已知可得，9 $\text{[math]}$ 即4 $\text{[math]}$ ，从而可求a₁，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1 $\text{[math]}$ =0，结合等差数列的通项公式可求
（2）记C_n═ $\text{[math]}$ ，利用单调性的定义可判断C_n＞C_n+1即C_n＜C_n-1＜C_n-2＜…＜C₂，从而可得C_n≤C₂，代入可证
点评：本题综合考查了数列的递推公式在数列的通项求解中的应用，等差数列的通项公式的求解及数列的单调性等知识的应用，试题具有一定的综合性