题目内容

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB= $数学公式$ c．
（I）求证：tanB=3tanA；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求角A的值．

解：（Ⅰ）∵bcosA-acosB= $\text{[math]}$ c，
∴由正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB= $\text{[math]}$ sinC，…1
∴sinBcosA-sinAcosB= $\text{[math]}$ sin（A+B）…3
∴2sinBcosA-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，…4
∴sinBcosA=3sinAcosB，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴cosA＞0，cosB＞0，…5
∴tanB=3tanA；…6
（Ⅱ）∵cosC= $\text{[math]}$ ，
∴0＜C＜ $\text{[math]}$ ，sinC= $\text{[math]}$ ，tanC=2，…7
∴tanC=tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，…8
∴ $\text{[math]}$ =-2，…9
∵tanB=3tanA，
∴ $\text{[math]}$ =-2，…10
∴tanA=1或tanA=- $\text{[math]}$ ，…11
∵cosA＞0，
∴tanA=1，A= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由正弦定理可求得sinBcosA=3sinAcosB，从而可求得tanB=3tanA；
（Ⅱ）由cosC= $\text{[math]}$ 可求得tanC=-2，即tan（A+B）=-2，利用两角和的正切结合tanB=3tanA即可求得tanA，从而可求得A．
点评：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正切函数，求得tanC的值是关键，考查转化思想与方程思想，属于中档题．