Question

　　 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。

（1）　　 求椭圆的离心率；

（2）　　 求直线AB的斜率；

（3）　　 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值

　

Answer 1

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，

（I）　　　　　　　　　　 解：由//且，得，从而

整理，得，故离心率

（II）　　　　　　　　　 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为

设直线AB的方程为，即. 　

由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得.

依题意，

而　 　　　　　　 ①

　　 　　　　　②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

　　 　　　　　　　　 ③

联立①③解得，

将代入②中，解得.

(III)解法一：由（II）可知

当时，得，由已知得.

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

， 由解得故

当时，同理可得. 　

解法二：由（II）可知

当时，得,由已知得

由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，

且，所以四边形为等腰梯形.

　　 由直线的方程为,知点H的坐标为.

因为，所以，解得m=c（舍），或.

则，所以.

当时同理可得