题目内容
已知m＞0，n＞0，向量
=(1，1)，向量
=(m，n-3)，且
⊥(
+
)，则
+
的最小值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| m |
| 4 |
| n |
分析：利用向量加法的坐标运算求出
+
，再由向量垂直得到m和n的关系为m+n=1，求
+
的最小值时，把
+
乘以1，即（m+n），展开后利用基本不等式可求最值．
| a |
| b |
| 1 |
| m |
| 4 |
| n |
| 1 |
| m |
| 4 |
| n |
解答：解：因为向量
=(1，1)，向量
=(m，n-3)，
所以
+
=(1，1)+(m，n-3)=(m+1，n-2)，
由
⊥(
+
)，所以1×（m+1）+1×（n-2）=0，
即m+n=1．
又m＞0，n＞0，
所以，
+
=(
+
)(m+n)=1+4+
+
=5+
+
≥5+2
=9．
当且仅当“4m2=n2”时“=”成立．
所以，
+
的最小值为9．
故选C．
| a |
| b |
所以
| a |
| b |
由
| a |
| a |
| b |
即m+n=1．
又m＞0，n＞0，
所以，
| 1 |
| m |
| 4 |
| n |
| 1 |
| m |
| 4 |
| n |
| n |
| m |
| 4m |
| n |
=5+
| n |
| m |
| 4m |
| n |
|
当且仅当“4m2=n2”时“=”成立．
所以，
| 1 |
| m |
| 4 |
| n |
故选C．
点评：本题考查了平面向量的坐标运算，考查了两个向量的数量积，训练了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是“1”的代换，此题是中档题．
练习册系列答案
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