Question

（本小题满分13分）

　　已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.

　　（1） 求异面直线与所成角的余弦值；

　　（2） 证明平面；

　　（3） 求二面角的正弦值.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）略

（3）

【解析】解：

　　法一：

　　如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

　　设,

　　依题意得,,,

　　（1）易得,,

　　　　 于是

　　　　 所以异面直线与所成角的余弦值为

　　（2）已知,

　　　　 ,

　　　　 于是·=0，·=0.

　　　　 因此，,,又

　　　　 所以平面

　　（3）设平面的法向量，则,即

　　　　 不妨令X=1,可得。

　　　　 由（2）可知，为平面的一个法向量。

　　　　 于是，从而,

　　　　 所以二面角的正弦值为

　　法二：

　　（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

　　　　 连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，

　　　　 由,可知EF∥BC1.

　　　　 故是异面直线EF与A1D所成的角，

　　　　 易知BM=CM=,

　　　　 所以 ,

　　　　 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为

　　（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，

　　　　 所以，从而，

　　　　 又由于,所以，

　　　　 故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

　　　　 连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,

　　　　 所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED.

　　（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

　　　　 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

　　　　 故为二面角A1-ED-F的平面角.

　　　　 易知，所以，

　　　　 又所以，

　　　　 在

　　　　 ,

　　　　 连接A1C1,A1F 在

　　　　 。所以

　　　　 所以二面角A1-DE-F正弦值为.