Question

（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得

10

i=1

xi=80，

10

i=1

yi=20，

10

i=1

xiyi=184，

10

i=1

x

2 i

=720．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

，其中

.

x

，

.

y

为样本平均值，线性回归方程也可写为

y

=

b

x+

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知n，

.

x

，

.

y

，进而可得

n

i=1

x

2 i

-n

.

x

2，

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

，代入可得b=值，进而可得a值，可得方程；
（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；
（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知n=10，

.

x

=

1

n

n

i=1

xi=

80

10

=8，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi=

20

10

=2，
故

n

i=1

x

2 i

-n

.

x

2=720-10×8²=80，

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

=184-10×8×2=24，
故可得b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

=

24

80

=0.3，a=

.

y

-b

.

x

=2-0.3×8=-0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x-0.4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；
（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7（千元）

点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．