Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+cos2x+a
（1）求函数f（x）的最小值及单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=3，a=1，bc=2

3

，且c＞b，求b，c的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出最小值，根据正弦函数的递减区间即可确定出f（x）的减区间；
（2）由f（A）=3，求出sin（2A+

π

6

）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，利用余弦定理表示出cosA，将a，cosA的值代入得到关于b与c的关系式，与已知b与c的关系式联立即可求出b与c的值．

解答：解：（1）f（x）=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴函数f（x）的最小值为2×（-1）+1=-2+1=-1，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z；
则f（x）的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=3，
即sin（2A+

π

6

）=1，
∵A为三角形的内角
2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，
即b²+c²=7，
将bc=2

3

代入可得：c²+

12

c2

=7，
解得：c=

3

或2，
∴b=2或

3

，
∵c＞b，
∴b=

3

，c=2．

点评：此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及正弦函数的值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．