Question

已知a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n∈N^*，设b_n=lg（1+a_n）．
（Ⅰ） 证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ） 设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ） 设dn=

1

an

+

1

an+2

，求数列{d_n}的前n项和D_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点的坐标代入函数解析式，两边同加1后取常用对数可得数列{b_n}的递推式，由等比数列的定义可得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b_n，进而得到c_n，利用错位相减法可得S_n；
（Ⅲ）由an+1=

a

2 n

+2an，得a_n+1=a_n（a_n+2），取倒数可得到

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，代入dn=

1

an

+

1

an+2

，得dn=2(

1

an

-

1

an+1

)，由此可表示出D_n=2（

1

a1

-

1

an+1

），由（1）知：lg(1+an)=2n-1，可求得a_n+1；

解答：解：（Ⅰ） 证明：由题意知：an+1=

a

2 n

+2an，
∴an+1+1=(an+1)2，
∵a₁=9∴a_n+1＞0，
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2，即b_n+1=2b_n．
又∵b₁=lg（1+a₁）=1＞0，
∴{b_n}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ） 由（1）知：bn=b1•2n-1=2n-1，∴cn=n•2n-1．
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①，
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n②，
∴①-②得，-Sn=1•20+21+22+…+2n-1-n•2n=

1-2n

1-2

-n•2n=2n-1-n•2n，
∴S n=n•2n-2n+1．
（Ⅲ）∵an+1=

a

2 n

+2an=an(

a

n

+2)＞0，
∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，∴

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∴dn=

1

an

+

1

an

-

2

an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，
∴Dn=d1+d2+…+dn=2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…

1

an

-

1

an+1

)=2(

1

a1

-

1

an+1

)，
又由（1）知：lg(1+an)=2n-1，
∴an+1=102n-1，∴an+1=102n-1，
∴Dn=2(

1

9

-

1

102 n-1

)．

点评：本题考查由数列递推公式求数列通项、数列求和、数列的函数特性，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性较强，难度较大．