Question

设a∈[-2，0]，已知函数
（Ⅰ） 证明f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x₁x₂x₃≠0，证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）令，．分别求导即可得到其单调性；
（II）由（I）可知：f^′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
已知曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x₁，x₂，x₃互不相等，利用导数的几何意义可得．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x²-（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．
由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[-2，0]，可得，
故，即可证明．
解答：解：（I）令，．
①，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，，
所以函数f₁（x）在区间（-1，0）内单调递减，
②=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，；
当x＞1时，，即函数f₂（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，∞）上单调递增．
综合①②及f₁（0）=f₂（0），可知：f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（II）证明：由（I）可知：f^′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x₁，x₂，x₃互不相等，且．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，由=．
可得，解得，从而．
设g（x）=3x²-（a+3）x+a，则．
由，解得，
所以，
设t=，则，
∵a∈[-2，0]，∴，
故，
故．
点评：本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．