Question

已知定义在实数集上的奇函数（、）过已知点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）试证明函数在区间是增函数；若函数在区间（其中）也是增函数，求的最小值；
（Ⅲ）试讨论这个函数的单调性，并求它的最大值、最小值，在给出的坐标系（见答题卡）中画出能体现主要特征的图简；
（Ⅳ）求不等式的解集．

Answer 1

（1）；（2）用定义法证明，的最小值为．（3），．（4）。

试题分析：（1）由奇函数得，得，又过点得；所以，显然可以发现它是一个奇函数．    （3分）
（2）设，有，
这样就有，
即函数在区间是增函数
对于函数在区间（）也是增函数，
设，有；
这样，欲使成立，
须使成立，从而只要就可以，所以，就能使函数在区间是增函数；的最小值为．   （3分）
（3）由（2）可知函数在区间是增函数；
由奇函数可知道，函数在区间也是增函数；
那么，在区间呢？设，有；这样，就有成立，即，所以，函数在区间是减函数．                                 
这样，就有，．
图像如下所示．  （3分）
（4）因为，，由（3）知道函数在区间是减函数，这样，不等式可以化为，即；    
它的解集为．   （3分）

点评：（1）若f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)一定为0.（2）用定义法证明函数的单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论，其中最重要的是四变形，最好变成几个因式乘积的形式，这样便于判断符号。（3）解这类不等式的关键是根据函数的单调性脱去“f”号。