题目内容

11．已知an=$\frac{8}{6-{a}_{n-1}}$，a1=$\frac{4}{3}$，求证：{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$}为等比数列．

分析 根据数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．

解答 解：∵an=$\frac{8}{6-{a}_{n-1}}$，
∴（6-an-1）an=8，
即6an-an-1an=8，
则an-1an=6an-8，
则当n≥2时，$\frac{\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}}{\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}-4}}$=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$$•\frac{{a}_{n-1}-4}{{a}_{n-1}-2}$=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}-2{a}_{n-1}-4{a}_{n}+8}{{a}_{n}{a}_{n-1}-4{a}_{n-1}-2{a}_{n}+8}$
=$\frac{6{a}_{n}-8-2{a}_{n-1}-4{a}_{n}+8}{6{a}_{n}-8-4{a}_{n-1}-2{a}_{n}+8}$=$\frac{2（{a}_{n}-{a}_{n-1}）}{4（{a}_{n}-{a}_{n-1}）}$=$\frac{1}{2}$为常数，
故：{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$}为公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列．

点评 本题主要考查等比数列的判定，根据数列的递推关系以及等比数列的定义是解决本题的关键．

练习册系列答案
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