Question

（2013•武汉模拟）设函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，利用判别式和根与系数的关系可求a的取值范围；
（Ⅱ）由x₁、x₂的关系，用x₂把a表示出来，求出f（x₂）的表达式最小值与

1-2ln2

4

比较即可．

解答：解：（Ⅰ）由题知，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞）．
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，
∴2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，
∴x₁=

1- 1-2a

2

，x₂=

1+ 1-2a

2

．     ①
又x₁+x₂=1，x₁•x₂=

a

2

＞0，
所以a＞0．
所以a的取值范围为（0，

1

2

）．
（Ⅱ）∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x

2 2

，
∴f（x₂）=x

2 2

-2x₂+1+（2x₂-2x

2 2

）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．

点评：本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．