Question

求：关于x的方程x²-x+1-k²=0
（1）有一个正根且有一个负根的充要条件；
（2）有两个同号且不相等的实根的充要条件．

Answer 1

分析：（1）根据方程的根与对应函数零点的关系，我们结合已知方程有一个正根且有一个负根，结合对应函数的图象和性质，易得到其充要条件为函数f（x）=x²-x+1-k²满足f（0）＜0，解对应的不等式即可求出对应的参数k的值，得到关于x的方程x²-x+1-k²=0有一个正根且有一个负根的充要条件．
（2）根据方程的根与对应函数零点的关系，我们结合已知方程有两个同号且不相等的实根，结合对应函数的图象和性质，易得到其充要条件为函数f（x）=x²-x+1-k²满足

f(0)＞0 f( 1 2 )＜0

，解对应的不等式即可求出对应的参数k的值，得到关于x的方程x²-x+1-k²=0有两个同号且不相等的实根的充要条件．

解答：解：（1）令f（x）=x²-x+1-k²，
其图象是开口方向朝上的抛物线
若关于x的方程x²-x+1-k²=0有一个正根且有一个负根
则函数f（x）=x²-x+1-k²，有一个正零点和一个负零点
则f（0）＜0
即1-k²＜0
解得k＜-1，或k＞1，
即关于x的方程x²-x+1-k²=0有一个正根且有一个负根的充要条件为k＜-1，或k＞1
（2）若令f（x）=x²-x+1-k²，
其图象是开口方向朝上，且以x=

1

2

为对称轴的抛物线
若关于x的方程x²-x+1-k²=0有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的正根，
则函数f（x）=x²-x+1-k²，有两个正零点
则

f(0)＞0 f( 1 2 )＜0

解得-1＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜1
故关于x的方程x²-x+1-k²=0有两个同号且不相等的实根的充要条件为-1＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜1

点评：本题考查的知识点是充要条件，二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系，其中根据二次函数的图象和性质，构造相对的不等式（组）是解答本题的关键．