Question

已知α，β∈（0，π）且tan(α-β)=

1

2

，tanβ=-

1

7

，则2α-β=（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  5

  4

  π
• C、-

  3

  4

  π
• D、-

  7

  4

  π

Answer 1

分析：根据已知条件配角：α=（α-β）+β，利用两角和的正切公式算出tanαtan[（α-β）+β]═

1

3

，进而算出tan（2α-β）=1．再根据α、β的范围与它们的正切值，推出2α-β∈（-π，0），即可算出2α-β的值．

解答：解：∵tan(α-β)=

1

2

，tanβ=-

1

7

，
∴tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

1 2 - 1 7

1- 1 2 ×(- 1 7 )

=

1

3

，
由此可得tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]=

tan(α-β)+tanα

1-tan(α-β)tanα

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．
又∵α∈（0，π），且tanα=

1

3

＜1，
∴0＜α＜

π

4

，
∵β∈（0，π），tanβ=-

1

7

＜0，
∴

π

2

＜β＜π，
因此，2α-β∈（-π，0），可得2α-β=

π

4

-π=

3π

4

．
故选：C

点评：本题已知角α-β与角β的正切值，求2α-β的值．着重考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．解决本题时，请同学们注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想方法的运用．