Question

已知函数f(x)=

3

asinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

(ω∈R+，a∈R)的最小正周期为π，其图象关于直线x=

π

6

对称．
（1）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间；
（2）若关于x的方程1-f（x）=m在[0，

π

2

]上只有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由最小正周期求出ω的值，最后根据图象关于直线x=

π

6

对称确定函数f（x）的解析式．
（2）由题意可得 sin（2x+

π

6

）=m在[0，

π

2

]上只有一个实数解，再由 0≤x≤

π

2

可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，得到-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，由此得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=a•

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

=

3

2

a•sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

3

2

=

3

2

a•sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1，
∵函数f（x）的最小正周期为π，∴

2π

2ω

=π，ω=1．
∴f（x）=

3

2

a•sin2x-

1

2

cos2x+1．
再由函数f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称可得 f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

3

2

a•

3

2

-

1

2

•（-

1

2

）+1，解得 a=-1．
故函数f（x）=-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1=1-sin（2x+

π

6

），故本题即求sin（2x+

π

6

）在[0，

π

2

]上的减区间．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z．
再由x∈[0，

π

2

]可得函数f（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间为[

π

6

，

π

2

]．
（2）关于x的方程1-f（x）=m在[0，

π

2

]上只有一个实数解，即 sin（2x+

π

6

）=m在[0，

π

2

]上只有一个实数解．
再由 0≤x≤

π

2

可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
集合图象可得 m=1，或-

1

2

≤m＜

1

2

．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和二倍角公式的应用和最小正周期的求法．考查三角函数基础知识的简单应用和灵活能力，属于中档题．