Question

（2013•天津一模）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=

3

，E，F分别为AB、SB的中点．
（I）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求锐二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．

Answer 1

分析：（I）取AC中点O，并以O为原点，OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系．给出A、B、S、E、F各点的坐标，从而得到向量

AC

、

SB

的坐标，计算出数量积

AC

•

SB

=0，即可证出AC⊥SB；
（II）根据题意，算出向量

CE

、

EF

的坐坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出

n

=(

2

，-

6

，1)为平面CEF的一个法向量，而

OS

=(0，0，

2

)为平面ABC的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出

n

、

OS

夹角的余弦值，即可得到锐二面角F-CE-B的余弦值；
（III）在平面CEF内取点B，得到向量

EB

=(-

1

2

，

3

2

，0)，根据空间坐标系点到平面的距离公式，即可算出点B到平面CEF的距离为d=|

n • EB

| n |

|=

2 2

3

．

解答：解：（Ⅰ）取AC中点O，根据题意可得OA、OB、OS两两互相垂直，
因此以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），
B(0，

3

，0)，S(0，0，

2

)，E(

1

2

，

3

2

，0)，F(0，

3

2

，

2

2

)，C（-1，0，0）
∴

AC

=(-2，0，0)，

SB

=(0，

3

，-

2

)
∵

AC

•

SB

=-2×0+0×

3

+0×(-

2

)=0
∴

AC

⊥

SB

，即得AC⊥SB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CE

=(

3

2

，

3

2

，0)，

EF

=(-

1

2

，0，

2

2

)，
设

n

=(x，y，z)为平面CEF的一个法向量，
则

CE • n = 3 2 x+ 3 2 y=0 EF • n =- 1 2 x+ 2 2 z=0

，取z=1，得x=

2

，y=-

6

．
∴平面CEF的一个法向量为

n

=(

2

，-

6

，1)．
又∵

OS

=(0，0，

2

)为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，
结合题意二面角F-CE-B是一个锐二面角，所以二面角F-CE-B的余弦值为

1

3

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得

EB

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∵

n

=(

2

，-

6

，1)为平面CEF的一个法向量
∴由点到平面的距离公式，可得
点B到平面CEF的距离为 d=|

n • EB

| n |

|=

2 2

3

．

点评：本题给出底面为等边三角形且一个侧面与底面垂直的三棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小和点到平面的距离．着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、点到平面的距离公式和异面垂直的证法等知识，属于中档题．