Question

（2013•牡丹江一模）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x²+y²=4上各点的纵坐标压缩至原来的

1

2

，所得曲线记作C； 直线l：ρ=

8

2cosθ+3sinθ

（I）写出直线l与曲线C的直角坐标方程
（II）求C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式和“代点法”即可得出；
（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立，利用相切时的切点即可得出．

解答：解：（Ⅰ）①由直线l：ρ=

8

2cosθ+3sinθ

，化为2ρcosθ+3ρsinθ=8，2x+3y=8；
②设要求的曲线C上的点P（x，y）是由圆x²+y²=4上点P′（x′，y′）的纵坐标压缩至原来的

1

2

而得到的，
则

x=x′ y= 1 2 y′

，解得

x′=x y′=2y

，而（x′）²+（y′）²=4，
∴x²+（2y）²=4，化为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设直线m∥l且m与椭圆相切，则直线m的方程可设为2x+3y+t=0，联立

2x+3y+t=0 x2+4y2=4

，
消去y得到25x²+16tx+4t²-36=0，
∵相切，
∴△=（16t）²-100（4t²-36）=0，解得t=±5．
可以知道当t=5时，得到的切点到直线l的距离最大．
把t=5代入（*）得（5x+8）²=0，解得x=-

8

5

，代入2x+3y+5=0，解得y=-

3

5

，
∴切点为(-

8

5

，-

3

5

)．
由点到直线的距离公式即可得切点到直线l：2x+3y-8=0的距离d=

|2×(- 8 5 )+3×(- 3 5 )-8|

22+32

=

13

，即为所求的最大值．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式和“代点法”、直线与椭圆相切问题?△=0是解题的关键．