Question

已知某椭圆的焦点是F₁（－4，0）、F₂（4，0），过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|＋|F₂B|＝10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；

（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知 2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5，又c=4 所以b==3. 故椭圆方程为=1. （Ⅱ）由点B（4，yB）在椭圆上，得     |F2B|=|yB|=.（如图） 因为椭圆右准线方程为x=，离心率为 根据椭圆定义，有|F2A|=（－x1），|F2C|=（－x2） 由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，得 （－x1）+（－x2）=2× 由此得出x1+x2=8. 设弦AC的中点为P（x0，y0） 则x0==4. （Ⅲ）由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得 　　 　　 　　 ④⑤ 　　 　　   由④－⑤得 9（x12－x22）+25（y12－y22）=0. 即=0（x1≠x2） 将（k≠0）代入上式，得 9×4+25y0（－）=0（k≠0）. 由上式得k=y0（当k=0时也成立）. 由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m. 所以m=y0－4k=y0－y0=－y0. 由P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称，如图）的内部，得－＜y0＜. 所以－＜m＜.