Question

（09年湖南十二校文）(13分)

  设函数   （＞0）

（Ⅰ）若在时，有极值，求的单调区间。

（Ⅱ）证明：的图像上存在着与直线垂直的切线。

（Ⅲ）若在处取得极值，且，求b的取值范围。

Answer 1

 解析：（Ⅰ）

由题意可知   即               ……………1分

解得 舍去）              ………………2分

此时，                                             

令＞0得＞1或＜1

＜0得  1＜＜1                        ………………………3分

所以的递增区间为（∞，1）、（1，+∞）

           递减区间为（1，1）                ………………………4分

（Ⅱ）证明：①当时，直线，则图像上与垂直的切线斜率为0.

令＞0恒成立，方程有解。    …………5分

②当时，直线的斜率为，则与垂直的切线斜率为

令即 

 ＞0恒成立，方程有解。

综上所述：的图像上存在着与垂直的直线。       ……………7分

（Ⅲ）由题意可知，为的两根

    ………8分

从而         ……………………………9分

由得 0＜         …………………………………10分

设

令则        ……………………………………11分

故在递增，递减， 从而在上的极大值为

即最大值为，且最小值为0，则

所以b的取值范围为            …………………………13分