Question

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且|F1F2|=2

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，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．求这两条曲线的方程．

Answer 1

分析：首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．

解答：解：设椭圆的方程为

x2

a 2 1

+

y 2

b 2 1

=1，双曲线得方程为

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1，半焦距c=

13

由已知得：a₁-a₂=4，

c

a1

：

c

a2

=3：7，
解得：a₁=7，a₂=3；所以：b₁²=36，b₂²=4，
所以两条曲线的方程分别为：

x2

49

+

y2

36

=1，

x2

9

-

y2

4

=1

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程和几何性质，属于基础题．