Question

已知函数f(x)=x+

a

x

-a
（I） 若f（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（II）解关于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（I） 根据x∈（1，+∞），将问题等价于x(

x

x-1

)＞a，从而利用基本不等式求最值，进而可求实数a的取值范围；（II）不等式可化为

(x-1)(x-a)

x

＞0，对参数a进行分类讨论，从而可确定不等式的解集．

解答：解：由题意，（I）问题等价于x+

a

x

＞a⇒x＞a-

a

x

=a(1-

1

x

)=a(

x-1

x

)对任意x∈（1，+∞）恒成立；
∵x∈（1，+∞），∴(

x-1

x

)＞0，∴x(

x

x-1

)＞a⇒

x2

x-1

=(x-1)+2+

1

x-1

＞a
∵(x-1)+2+

1

x-1

＞4⇒a＜4
（II）不等式可化为

(x-1)(x-a)

x

＞0
a＜0时x∈（a，0）∪（1，+∞）；a=0时x∈（1，+∞）0＜a＜1时x∈（0，a）∪（1，+∞）a=1时x∈（0，1）∪（1，+∞）a＞1时x∈（0，1）∪（a，+∞）

点评：本题以函数为载体，考查恒成立问题，考查解不等式，关键是等价转化．