题目内容
【题目】已知集合
，其中
， 
， 
． 
表示
中所有不同值的个数．
（
）设集合
， 
，分别求
和
．
（
）若集合
，求证： 
．
（
）
是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
， 
；（2）见解析；（3）
.
【解析】试题分析：（1）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；
（2）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有
个值，可得
，；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，设
，所以
．由此即可证明l（A）的最小值2n-3．
试题解析：
（
）由
， 
， 
， 
， 
， 
得
，
由
， 
， 
， 
， 
， 
得
．
（
）证明：∵
最多有
个值，
∴
，
又集合
，任取
， 
，
当
时，不妨设
，则
，
即
，
当
， 
时， 
，
∴当且仅当
， 
时， 
，
即所有
的值两两不同，
∴
．
（
）
存在最小值，且最小值为
，
不妨设
，可得
，
∴
中至少有
个不同的数，即
，
取
，则
，即
的不同值共有
个，
故
的最小值为
．
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