Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=3，f（3）=f（-1）=0．
（1）求f（x）的解析式，并求出函数的值域；
（2）若f（x-1）=-x²+4，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由f（3）=f（-1）=0，可求函数f（x）的零点，进而可设函数的零点式，然后根据f（0）=3可得一方程，求出f（x）解析式后配方可求函数的值域；
（2）表示出f（x-1）可把f（x-1）=-x²+4化为具体方程，解出即可；

解答：解：（1）由f（3）=f（-1）=0，知3，-1是函数f（x）的零点，
可设f（x）=a（x-3）（x+1）（a≠0），
∵f（0）=3，
∴a（0-3）（0+1）=3，解得a=-1，
∴f（x）=-（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，即f（x）=-x²+2x+3，
∴f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
故f（x）的值域为（-∞，4]；
（2）由（1）知f（x）=-x²+2x+3，
∴f（x-1）=-（x-1）²+2（x-1）+3=-x²+4x，
∴f（x-1）=-x²+4可化为-x²+4x=-x²+4，即4x=4，解得x=1，
故x的值为1．

点评：本题考查二次函数解析式的求解、函数的零点及函数值域的求法，属基础题，若已知函数类型求函数解析式，常用待定系数法求解．