Question

已知函数f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都满足x1＜

1

k

＜x2（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x）=

2ax2+1

x

，注意到定义域为（0，+∞），故解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0等价于解含参数的一元二次不等式，讨论参数的范围即可
（2）先将函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数问题，转化为方程

lnx

x

=(x-e)2+a根的个数问题，进而转化为函数?(x)=

lnx

x

与函数M（x）=（x-e）²+a的图象交点个数问题，分别研究这两个函数的性质特别是单调性和极值，即可讨论出函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数
（3）当a=0时，f（x）=lnx，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，若f（x）是优美函数，则x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，即1-

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，故本题的关键是看上式是否成立，证明此不等式成立需利用换元法，并构造新函数，利用导数研究所构造函数的性质

解答：解：f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

(x＞0)
当a≥0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的递增区间是(0，

- 1 2a

)，递减区间是[

- 1 2a

，+∞)；
（2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x³+2ex²-（a+e²）x
由H（x）=0得：

lnx

x

=(x-e)2+a
令?(x)=

lnx

x

，则?′(x)=

1-lnx

x2

当0＜x＜e时，?'（x）＞0，当x＞e时，?'（x）＜0
所以当x=e时，?（x）取最大值

1

e

，且当x→0时，?(x)=

lnx

x

→-∞
当x→+∞时，?(x)=

lnx

x

→0
令M（x）=（x-e）²+a
于是当a＜

1

e

时，H（x）有两个零点；
当a=

1

e

时，H（x）有一个零点；
当a＞

1

e

时，H（x）没有零点．
（3）当a=0时，f（x）=lnx   k=

lnx2-lnx1

x2-x1

若f（x）是优美函数，则x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，于是1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1 -1

＜

x2

x1

解得：1-

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1…、①
令t=

x2

x1

(t＞1)，则①可化为1-

1

t

＜lnt＜t-1
令F（t）=lnt-t+1，则F′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

＜0F（t）在（1，+∞）上递减，当t=1时取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1
令G(t)=lnt+

1

t

-1，于是G′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0
当G（t）在（1，+∞）上递增，当t=1时取最小值G（1）=0、G(t)=lnt+

1

t

-1＞G(1)=0ln

x2

x1

＞1-

x1

x2

于是①成立，所以x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2
即x1＜

1

k

＜x2
所以函数f（x）为优美函数．

点评：本题综合考察了利用导数求函数单调区间的方法，利用导数研究函数的零点个数问题的方法，利用导数证明不等式的方法