Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC=4acosA．

（Ⅰ） 求cosA的值    （Ⅱ） 若△ABC的面积是，求的值．

Answer 1

考点：

正弦定理；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．

专题：

综合题．

分析：

（Ⅰ）根据正弦定理把已知的等式变形，然后利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，根据sinA不为0，即可得到cosA的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的cosA的值，根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值，然后利用三角形的面积公式，由三角形的面积等于和求出的sinA的值求出bc的值，利用平面向量的数量积的运算法则，把bc的值和cosA的值代入即可求出值．

解答：

解：（Ⅰ）利用正弦定理，

得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，

sin（B+C）=4sinAcosA，

即sinA=4cosAsinA，

所以cosA=．

（Ⅱ）由（I），得sinA=，

由题意，得bcsinA=，

所以bc=8，

因此=bccosA=2．

点评：

此题考查学生灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握平面向量的数量积的运算法则，是一道中档题．