题目内容

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（Ⅰ）设，，

求证：（1）（2）数列是等差数列，并求出其公差；

（Ⅱ）设，，且是等比数列，求和的值．

 

【答案】

（Ⅰ）（1）略

（2）数列是以1 为公差的等差数列. 

（Ⅱ）.    

【解析】（Ⅰ）（1）把， ，代入的左端整理即得结论；（2）对（1）的结论两边平方移项就满足等差数列的定义，易证得结论；

（Ⅱ）由已知得，利用不等式可得，即.因为是等比数列，所以公比一定是1，可用反证法证明.由此得到数列为公比是的等比数列.又由已知得，所以，中至少有两项相同.数列为公比是1，即，代入得

 

练习册系列答案
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已知各项均为正数的两个数列{an}，{bn}，由下表给出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定义数列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并规定数列{an}，{bn}的“并和”为Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，则y的最小值为
3
3
．
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求证：当n≥2时，有an≤
2
2
成立；
（2）设bn+1=
bn
an
，n∈N*，求证：数列{(
bn
an
)2}是等差数列；
（3）设bn+1=anbn，n∈N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求证：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）数列{(
bn
an
)2}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求证：数列{(
bn
an
) 2}是等差数列；
（2）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
已知各项均为正数的两个数列由表下给出：
定义数列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，…，5)，并规定数列		 n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
{ an}，{ bn}的“并和”为 Sab=a1+a2+…+a5+c5．若 Sab=15，
则y的最小值为
3
3
．

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