Question

已知圆O：x²+y²=4上有三个不同的点P、A、B，且满足

AP

=x

OB

-

1

2

OA

（其中x＞0），则实数x的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、[1，3]
• C、[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• D、[

  3

  2

  ，

  5

  2

  ]

Answer 1

分析：由

AP

=x

OB

-

1

2

OA

可得x

OB

=

OP

-

1

2

OA

，两边平方得4x²=4+1-

OP

•

OA

，利用向量的数量积公式，即可求出实数x的取值范围．

解答：解：∵

AP

=x

OB

-

1

2

OA

，
∴

OP

-

OA

=x

OB

-

1

2

OA

，
∴x

OB

=

OP

-

1

2

OA

，
两边平方得4x²=4+1-

OP

•

OA

，
设

OP

与

OA

的夹角为α，则4x²=5-4cosα，
∵-1≤cosα≤1，
∴1≤5-4cosα≤9，
∴1≤4x²≤9，
∵x＞0，
∴

1

2

≤x≤

3

2

，
故选：C．

点评：本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．