Question

已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x²＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

 

Answer 1

【答案】

[1，＋∞)

【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，则F′(x)＝＋2－2ax－a＝，x∈(0，＋∞)．

 

当a≤0时，F′(x)>0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立，

当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．

 

当0<x<时，F′(x)>0，当x>时，F′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F，

 

由题意F≤0恒成立，即ln＋－1≤0，令φ(a)＝ln＋－1，则φ(a)在(0，

 

＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要条件是a≥1.答案：[1，＋∞)