题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n-3a_n+2n=0（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n；
（Ⅲ）设 $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和为M_n，求证： $数学公式$ ．

（Ⅰ）证明：∵2S_n-3a_n+2n=0①，
∴2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，
②-①得：2a_n+1-3（a_n+1-a_n）+2=0，
∴a_n+1=3a_n+3．
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴ $\text{[math]}$ =3，
又2a₁-3a₁+2=0，故a₁=2，a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）∵b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，③
$\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ④
③-④得： $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=2- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]．
∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，⑤
同理 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，⑥
…
$\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ⑦
∴（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴-[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]＞- $\text{[math]}$
∴M_n＞2n- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由2S_n-3a_n+2n=0①，可得2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，由①②即可证得数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求得b_n= $\text{[math]}$ ，利用错位相减法即可求得T_n；
（Ⅲ）可求得c_n═2- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]．利用放缩法与累加法即可证明结论．
点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定于数列的求和，突出错位相减法与放缩法、累加法的应用，综合题性强，属于难题．