题目内容
如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点，
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？
| 解：（1）分别取AB、DF的中点O、G， 连接OC、OG， 以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，  ，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、 E（0，  ，3）、F（-1，0，4），∴  =（-1， ，2）， =（-2，0，3），设平面DEF的法向量  ，由  ，得  ，可取   ，平面ABC的法向量可以取  ，∴  ，∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为  。（2）在（1）的坐标系中，AF=a，  =（-1， ，2）， =（-2，0，a-1），因P在DE上，设  ，则   ，∴   ，于是CP⊥平面DEF的充要条件为  ，由此解得，  ，即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P， 使CP⊥平面DEF。 |
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练习册系列答案
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