Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）试判断函数f（x）在[0，+∞）上是否存在最小值，若存在，求该最小值；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}各项都是正数，且满足a₁=f（0），f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

（n∈N^*），又设bn=(

1

2

)an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，当n≥2时，试比较S_n与T_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对于任意的实数x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y），令y=0，x=-1可求出f（0）的值；
（2）先利用函数单调性的定义证明该函数的单调性，从而可求出函数的最小值，从而求出所求；
（3）根据条件f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

可得f（a_n+1²-a_n²-a_n+1-a_n）=f（0），又f（x）在R上为增函数，从而得到
数列{a_n}为等差数列，求出通项公式，然后利用裂项求和法可求出T_n，利用等比数列的求和公式可求出S_n，根据当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…＞1+n可比较S_n与T_n的大小．

解答：解：（1）令y=0，x=-1得f（-1）=f（-1）f（0），又f（-1）＞0
∴f（0）=1
（2）∵x＜0时，f（x）＞0
∴x＞0时，f（x-x）=f（x）f（-x）=1得f(x)=

1

f(-x)

＞0，
故对于x∈R，f（x）＞0
任取实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0∴0＜f（x₁-x₂）＜1
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在R上为增函数
∴f（x）在[0，+∞）上存在最小值，
即f（x）_min=f（0）=1；
（3）由f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

得f（a_n+1²-a_n²）f（-a_n+1-a_n）=1=f（0）
即f（a_n+1²-a_n²-a_n+1-a_n）=f（0），又f（x）在R上为增函数
∴a_n+1²-a_n²-a_n+1-a_n=0
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，又数列{a_n}各项都是正数
∴a_n+1-a_n=1，n∈N^*
∴数列{a_n}为等差数列，a_n=a₁+（n-1）•1=f（0）+n-1=n
∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，∴Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=1-

1

n+1

而Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…＞1+n，
故

1

2n

＜

1

n+1

∴S_n＞T_n
综上，S_n＞T_n（n∈N^*且n≥2）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等比数列求和与裂项求和法，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于难题．