Question

已知函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）+1
（1）求f（x）的值域及当y取最大值时，自变量x的集合；
（2）求周期及对称点
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于正弦函数的值域，求得函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）+1的值域．再根据当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，
k∈z时，y取最大值为4，求得自变量x的集合．
（2）根据函数的周期T=

2π

ω

 求得结果．令2x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x的值，可得函数图象对称点．
（3）根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由于-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，故函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）+1的值域为[-2，4]，
且当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，y取最大值为4，此时自变量x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．
（2）函数的周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
令2x+

π

6

=kπ，k∈z，可得 x=

kπ

2

-

π

12

，故函数图象对称点为（

kπ

2

-

π

12

，0）．
（3）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故当2x+

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为4，
当2x+

π

6

=

7π

6

时，函数取得最小值为3（-

1

2

）+1=-

1

2

，
故函数f（x）的值域为[-

1

2

，4]．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性、周期性、对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．