Question

【题目】设函数 .若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式在（0，+）上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是;（2）

【解析】试题分析：（1）由函数的解析式得其定义域为.. 因为曲线在点处的切线方程为，所以,,联立可得解方程组可得. 所以， .分别解不等式与，可得单调递减与递增区间。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，构造函数，因为，所以对任意，不等式恒成立.考虑函数的单调性。因为。当时，对任意恒成立，此时函数单调递增.于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；当函数为减函数时， ，即恒成立时，函数单调递减，构造函数， 大于函数的最大值，求导数判断单调性，对任意，所以，即，符合题意；当时，构造函数，二次求导，令得 ，因为，所以。所以当时， ，此时单调递增，所以 ，故当时，函数单调递增.于是当时， 成立，不符合题意；综合上面三种情况可得所求。

试题解析：解：（1）函数的定义域为.

.

依题意得， ，即

所以.

所以， .

当时， ；当时， .

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.

又，当，即恒成立时，

函数单调递减，设，则，

所以，即，符合题意；

当时， 恒成立，此时函数单调递增.

于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；

当时，设，

则 ；

当时， ，此时单调递增，

所以 ，

故当时，函数单调递增.

于是当时， 成立，不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为： .