Question

（本题满分14分）

已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线 上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，…,,… .  设点的坐标为，.

（Ⅰ）试用表示，并证明；   

（Ⅱ）试证明，且（）；

（Ⅲ）当时，求证：  （）.

Answer 1

解析：（Ⅰ）点的坐标满足方程组，所以, ……………1分

解得： ，故，   ……………………… 2分

因为，所以故，故. ………3分

（Ⅱ）由已知，，，

即：，                      …………………………… 4分

所以

因为，所以.            ……………………………… 5分

下面用数学归纳法证明（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

1当时，成立；

2假设当时，有成立，（）

则当时，    ………………………………… 6分

         所以       …………………………… 7分

         所以当时命题也成立，

综上所述由1，2知（）成立.………………………………… 8分

 

(注：此问答题如：只是由图可知，而不作严格证明，得分一律不超过2分)

（Ⅲ）当时，， ()，…………9分

      所以.………………………………10分

      因为，所以当时，由（Ⅱ）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

所以有.……………………………………………………………12分

      又因为，

      所以，，…………………13分

故有：

 ….14分