题目内容

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2
，数列{an}满足：an=f(0)+f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(1)，运用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得an=
 
．
分析：由于f（x）+f（1-x）=
1
2
，由于an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），an=f（1）+f（
n-1
n
）+…+f（
2
n
）+f（
1
n
）+f（0），利用倒序相加法即可求得an．
解答：解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2
，数列{an}满足：an=f(0)+f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(1)①，
∴an=f（1）+f（
n-1
n
）+…+f（
2
n
）+f（
1
n
）+f（0）②，
∴①+②得：
2an=[f（0）+f（1）]+[f（
1
n
）+f（
n-1
n
）]+[f（
2
n
）+f（
n-2
n
）]+…+[f（
n-1
n
）+f（
1
n
）]+[f（1）+f（0）]=（n+1）×
1
2
，
∴an=
n+1
4
．
故答案为：
n+1
4
．
点评：本题考查数列求和，着重考查倒序相加法，熟练应用“f（x）+f（1-x）=
1
2
”是关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．
已知函数f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求实数a的取值范围．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网