Question

【题目】已知函数，且函数图像经过点.

（1）当时，求的单调区间；

（2）且函数在区间上有且只有个极值点时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在单调递减，在单调递增；（2）.

【解析】

（1）由求得的值，再由可得出函数的解析式，进而可求得，然后利用导数可进一步求得函数的单调递增区间和单调递减区间；

（2）求得，构造函数，可知函数有两个变号零点，对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合题意得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.

（1）由题意可得，解得，

易知函数的定义域为，

当时，，，

又，设，则恒成立，

所以，函数在上单调递增，

又，则当时，即

当时，即.

所以，函数在单调递减，在单调递增；

（2）由，可得，且，

设，即，

又，

当时，，此时.

①当时，有，此时在恒成立，

所以，函数在区间上有且只有个极值点，故不满足题意；

②当时，有，设的两根为、，

则有，，

故，则时，时，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

又，故，，

当，即时，函数在无零点，

又在单调递增，，即函数在区间上有且只有个极值点，故不满足题意；

当，即时，

则使得，且当时，

当时；当时，

即此时函数在区间上有且只有个极值点，

极值点为和，故满足题意，

综上可得，符合条件的的取值范围为.