Question

设函数f（x）=

ax2+bx+c

（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个长与宽的比为2：1的矩形区域，则a的值为

-16或-1

．

Answer 1

分析：将问题转化为定义域的长度与值域的长度比是1：2或2：1；利用韦达定理求出定义域的长度；利用二次函数的最值公式求出值域的长度，列出方程求出a的值．

解答：解：定义域x的长度为|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac a2

值域的长度是从0到最大值，为

4ac-b2 4a

∵所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个长与宽的比为2：1的矩形区域
∴

b2-4ac a2

=2

4ac-b2 4a

或

4ac-b2 4a

=2

b2-4ac a2

解得a=-1或a=-16
故答案为-16或-1

点评：本题考查等价转化的数学思想方法、考查二次函数的韦达定理、考查二次函数的最值公式．