Question

与双曲线2x²-2y²=1有相同的焦点，且离心率互为倒数的椭圆的方程为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，算出双曲线的焦点在x轴上，半焦距c=1且离心率e=

2

．设椭圆的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0)，由椭圆与双曲线有相同焦点且离心率互为倒数，建立关于m、n的方程组，解之即可得出所求椭圆的方程．

解答：解：双曲线2x²-2y²=1化成标准形式，得

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，
∴双曲线焦点在x轴上，且a²=b²=

1

2

，可得c²=

1

2

+

1

2

=1，离心率e=

c

a

=

2

．
∵椭圆的焦点与双曲线2x²-2y²=1相同，离心率与双曲线2x²-2y²=1互为倒数，
∴设椭圆的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0)，
可得

m2-n2=1 1 m = 2 2

，解之得m=

2

，n=1，因此所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
故答案为：

x2

2

+y2=1

点评：本题给出椭圆与已知双曲线有相同的焦点，且离心率与双曲线互为倒数，求椭圆的方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．