题目内容

对于函数f（x），?x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的不动点．求证：f（x）=x2+1没有不动点．

解：根据题意，得x=x2+1，
即x2-x+1=0，
由于△=（-1）2-4=-4＜0，
得x2-x+1=0无实数根，
故f（x）=x2+1没有不动点．
分析：不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+1没有不动点，是指方程x=x2+1无实根．即方程x=x2+1无实根，然后根据根的判别式△＜0解答即可．
点评：本题考查了二次函数、进行简单的演绎推理等．解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根的关系这一知识点．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
当f（x）=2-x时，上述结论中正确结论的序号是
 
写出全部正确结论的序号）
对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）=x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点． 由此，函数f(x)=
9x-5x+3
的图象上不动点的坐标为
 
．
对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）②f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，当f(x)=log
1
2
x时，上述结论中正确的序号是
③④
③④
（写出全部正确结论的序号）
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）当a=1，b=-2求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，令g(x)=
1
x+2
+loga 
1+x
1-x
，解关于x的不等式g[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．
对于函数f（x）=x3cos3（x+
π
6
），下列说法正确的是（　　）

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