Question

【题目】已知幂函数，满足．

（）求函数的解析式．

（）若函数，，是否存在实数使得的最小值为？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（）若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）

【解析】试题分析：（1）根据幂函数是幂函数，可得，求解的值，即可得到函数的解析式；

（2）由函数，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数的取值范围；

（3）由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，转化为方程有解问题，即可求解的取值范围．

试题解析：

（）∵为幂函数，∴，∴或．

当时，在上单调递减，

故不符合题意．

当时，在上单调递增，

故，符合题意．∴．

（），

令．∵，∴，∴，．

当时，时，有最小值，

∴，．

②当时，时，有最小值．∴，（舍）．

③当时，时，有最小值，

∴，（舍）．∴综上．

（），

易知在定义域上单调递减，

∴，即，

令，，

则，，∴，∴，

∴．

∵，

∴，∴，∴，

∴．

∵，∴，∴，

∴ ．∴．