Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜

1

2

m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞） 上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知f'（x）＜0的解集为（1，2），即f'（x）=0的两根为1，2，利用韦达定理以及f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；
（2）对任意m∈（0，2]，不等式f（x）＜

1

2

m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞） 上有解，等价于f_min（x）＜

1

2

m³-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，再分离参数转化求函数最值问题即可．

解答：解：（1）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²的单调递减区间是（1，2），
∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0，
从f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1，
又

f′(1)=3+2b+c=0 f′(2)=12+4b+c=0

，解得

b=- 9 2 c=6

，
∴f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1．
（2）由（1）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函数，
对x∈[2，+∞），当x=2时，f（x）min=f（2）=3，
要使f（x）＜

1

2

m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，
只需f_min（x）＜

1

2

m³-mlnm-mt+3，即3＜

1

2

m³-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，
也即mt＜

1

2

m³-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，即t＜

1

2

m²-lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h（m）=

1

2

m²-lnm，m∈（0，2]，则t＜h（m）_min，
h′（m）=m-

1

m

=

m2-1

m

=

(m+1)(m-1)

m

，令h′（m）=0，得m=1或m=-1（舍），
当m∈（0，2]时，h′（m）与h（m）的变化情况如下表：

m	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（m）	-	0	+
h（m）	↘	极小值 1 2	↗	2-ln2

∴m=1时，h（m）min=h（m）极小值=

1

2

，
所以t＜

1

2

，即实数t的取值范围为t＜

1

2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值求解、不等式恒成立等问题，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想，综合性强，难度大．