Question

已知点A（1，1）是椭圆上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的两焦点坐标；
（II）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称．

Answer 1

解：（I）由椭圆定义知：2a=4，
∴a=2
∴
把（1，1）代入得
∴
∴
故两焦点坐标 为．…（3分）
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），
此时
取椭圆上一点
∴|AM＞|AB|．
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立． …（7分）
分析：（I）由椭圆定义知：2a=4，把（1，1）代入得求出b，根据进一步求出两焦点坐标．
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），此时；再取椭圆上一点得到|AM＞|AB|．即得证．
点评：本题考查椭圆的定义及椭圆中三个参数的关系：c²=a²-b²；考查利用反证法证明命题，属于中档题．