题目内容
已知函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且a1，a2，a3，…，an构成一个数列，又f（1）=n2，（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）求证：f(
)＜1.
思路解析：从f（1）=n2知，数列｛an｝的前n项和Sn=n2，这样，就将问题转化为“知Sn求an”的问题了. 解：（1）在f（x）中，令x=1，则f（1）=a1+a2+a3+…+an， ∵ f（1）=n2，∴ a1+a2+a3+…+an=n2，即Sn=n2. 当n=1时，a1=S1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1. 验证知，a1=1也适合上式，∴ an=2n-1（n∈N*）. （2）∵ f( ∴ 两式相减,得 = ∴ f( 评注：此题综合了数列与函数，数列与不等式，及数列求和等多方面的知识，值得研究.)=
+3×(
)2+5×(
)3+…+（2n-1）×(
)n，
f(
)=1×(
)2+3×(
)3+…+（2n-3）×(
)n+（2n-1）×(
)n+1.
f(
)=
+2［(
)2+(
)3+…+(
)n］-（2n-1）×(
)n+1
+2×
-（2n-1）×(
)n+1=
-2（n+1）(
)n+1，
)=1-（n+1）(
)n＜1.
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