Question

已知(

3

x

+ax2)2n的展开式记为R，（3x-1）ⁿ的展开式记为T．已知R的奇数项的二项式系数的和比T的偶数项的二项式系数的和大496．
（1）求R中二项式系数最大的项；
（2）求R中的有理项；
（3）确定实数a的值使R，T中有相同的项，并求出相同的项．

Answer 1

分析：先由R的奇数项的二项式系数的和比T的偶数项的二项式系数的和大496建立方程求出n．
（1）由二项式的形式可以判断出，第6项的二项式系数最大，用公式求出即可；
（2）给出展开式的通项公式，研究其指数，找出有理项．
（3）求出（3x-1）ⁿ的展开式中的项，根据两个展开式中的项比对，得到方程r=1-

3

5

t，再由0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0，r=1时有相同项，建立方程求参数值即可

解答：解：由题意2^2n-1-2^n-1=496，解得n=5
（1）由已知(

3	x

+ax2)2n的展开式中第六项的二项式系数最大，结果为

C

5 10

(ax2)5(

3	x

)5=252a5x

35

3

（2）R展开式的通项公式Tr+1=

C

r 10

(

3	x

)10-r(ax2)r
由

10-r

3

+2r∈z且0≤r≤10，所以r=1，4，7，10
故R中的有理项为T₂=10ax⁵，T₅=210a⁴x¹⁰，T₈=120a⁷x¹⁵，T₁₁=a¹⁰x²⁰
（3）T展开式的通项公式S_t+1=C₅^t（3x）^5-t（-1）^t
由

10-r

3

+2r=5-t即3t=5（1-r）
所以r=1-

3

5

t
又0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0
当t=0时，r=1，此时10a=3⁵，得a=

243

10

故a=

243

10

时R，T中有相同的项．

点评：本题考查二项式的系数的性质，解题的关键是掌握二项式系数的展开式及展开式中项与指数的关系，由此根据题设要求建立方程求解即可．本题运算量较大，符号运算较多，解题时运算要认真，避免运算时一错全错．