Question

已知函数f（x）=

ax，(x＜0) (a-3)x+4a，(x≥0)

，满足对任意的x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  4

  ]
• B．（0，1）
• C．[

  1

  4

  ，1)
• D．（0，3）

Answer 1

分析：由题意可知，f（x）=

ax，(x＜0) (a-3)x+4a，(x≥0)

为减函数，从而可得

0＜a＜1 a-3＜0 4a≤1

，由此可求得a的取值范围．

解答：解：∵f（x）对任意的x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴f（x）=

ax，(x＜0) (a-3)x+4a，(x≥0)

为R上的减函数，
∴

0＜a＜1 a-3＜0 4a≤1

解得0＜a≤

1

4

．
故选A．

点评：本题考查函数单调性的性质，判断出f（x）=

ax，(x＜0) (a-3)x+4a，(x≥0)

为R上的减函数是关键，得到4a≤1是难点，属于中档题．