Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且角C为锐角，cos2C=-

1

4

（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，根据C为锐角，即可确定出sinC的值；
（Ⅱ）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵角C为锐角，cos2C=1-2sin²C=-

1

4

，
∴sin²C=

5

8

，
则sinC=

10

4

；
（Ⅱ）将2sinA=sinC利用正弦定理化简得：2a=c，
由a=2，得到c=4，
∵sinC=

10

4

，C为锐角，
∴cosC=

1-sin2C

=

6

4

，
利用余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即16=4+b²-

6

b，
整理得：b²-

6

b-12=0，
解得：b=

6 ±3 6

2

，
即b=2

6

或b=-

6

（舍去），
则b=2

6

，c=4．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．